Día a día nos encontramos con hechos que son fortuitos, pero a los cuales les otorgamos una improbabilidad tan alta que consideramos su origen predestinado. Hasta hemos creado leyes para referirnos a algunos de ellos. Muchos pueden ser explicados, sin embargo, por las probabilidades, sin recurrir a mágicos poderes.
Guillermo
Giménez de Castro
Centro de Rádio-Astrônomia
e Astrofísica Mackenzie
Marzo de 1999
Las grandes coincidencias sólo no existen en las malas obras literarias. Esta cita, que ya he citado en un artículo anterior, sintetiza nuestro sentimiento frente a fenómenos que nos llaman poderosamente la atención por el grado de inverosimilitud. Hay algunos aconteciemientos a los que prestamos más atención. Por ejemplo, asignamos una gran importancia a nuestra fecha de nacimiento. Y por ello, parece relevante encontrar a alguien con nuesrta misma fecha de aniversario, situación de la que extraeremos conclusiones de valor. Por increible que parezca y a pesar de que el año tiene 365 días, la probabilidad de encontrar dos personas con aniversario similar no es tan pequeña.
Por ejemplo: dos equipos de fútbol en la cancha de juego más el referee, suman 23 personas. Que dos jugadores coincidan en su aniversario, parece harto improbable en base a que la probabilidad de que dos personas cumplan los años el mismo día es de 1/365 = 0.3 %. La increible respuesta es que la probabilidad de hallar dos o más personas con la misma fecha de nacimiento para un grupo de 23 personas es de... 50%!! O sea, en 10 partidos (una fecha del fútbol de primera de Argentina), tendremos cinco de ellos donde habrá al menos una pareja que cumple los años el mismo día. Recalco el al menos; podrían ser más. Nótese también que no estoy diciendo que la probabilidad de cualquiera de ellos sea del 50%. Estoy hablando del grupo entero.
La razón de este singular comportamiento está en la cantidad de parejas distintas que podemos formar con 23 personas: exactamente 253. Este valor (matemáticamente el combinatorio 23 - 2 ) nos es dado por la teoría combinatoria que juntamente con la teoría de probabilidades nos enseña a saber cuando tenemos buenas chances de ganar en un juego. Todo alumno de la escuela secundaria recibe algunas nociones de cálculo combinatorio que le permiten obtener la respuesta anterior. Y la esencia de la alta probabilidad de hallar dos personas con el mismo cumpleaños reside en el alto número de parejas posible de ser obtenido comparado con la probabilidad de que dos personas nazcan el mismo día (1/365). En un grupo de 10 personas, apenas 45 parejas pueden ser formadas; en uno de 40, ya son 780 las parejas, y 1770 si juntamos 60 personas.
Para comprobar mis dichos anteriores realicé una simulación que consistió en obtener 23 números al azar entre 1 y 365, cada uno de estos números representa la fecha de nacimiento de cada uno de mis 23 personajes simulados. Luego observé si había cumpleaños repetidos, en caso afirmativo, consideraba a la simulación como positiva y marcaba una raya en mi cuaderno. Volvía a obtener 23 números al azar entre 1 y 365 y volvía a verificar si se producían repeticiones en las fechas de cumpleaños. Repetí la operación 100.000 veces (bueno, está claro que utilicé una computadora) y conté el número de rayas obtenido al final. En un 50% exacto de las 100.000 veces, obtuve como resultado que al menos dos personas coincidían en su fecha de nacimiento. Y en un 1.25%, que tres personas coincidían simultáneamente. Estas frecuencias obtenidas a partir de la división entre casos positivos y casos totales pueden ser consideradas representativas de la probabilidad porque el número de repeticiones fue muy grande y porque el método empleado parece simular bien un fenómeno aleatorio. Cuando aumenté el número de participantes a 40, la frecuencia (probabilidad) de al menos una pareja con igual cumpleaños, trepó al 88.2%, siendo de 6.4% la probabilidad de que tres personas coincidan. Por último, cuando el número de personas de la simulación llegó a 60 (por ejemplo, un vagón de subte o de tren cuando está lleno y con pasajeros de pie), la probabilidad de obtener al menos dos con igual fecha de nacimiento llegó a un 99%!!! Mientras que la probabilidad de que tres personas hayan nacido en la misma fecha, es del 19.8%, bastante significativa ya.
Ahora bien, cual es la probabilidad de que me ecuentre con un amigo al que no veo desde hace años y que no reside en la ciudad en que yo habito? Este es un evento del que personalmente he sido protagonista. Podría llegar rápidamente a la conclusión de que el hecho es altamente improbable, y, por lo tanto, de que alguna fuerza desconocida actuó. Esto es lo que sugieren autores New Age, como Richard Bach (Nada es azar). Esta forma de razonamiento fue ridiculizada por el autor de ciencia ficción, Stanislav Lem, en uno de sus cuentos de Vacío Perfecto, una obra de ficción que consiste en la crítica a libros inexistentes. Uno de esos libros se llama: De imposibilitate vitae, de imposibilitate prognoscendi. Lem usa un estilo satírico para contar como los padres del supuesto autor del libro se conocieron, producto del azar. Como a su vez los abuelos trabaron romance también producto del azar. Y así sigue por algunas generaciones más, hasta que decide saltar a los ancestros cavernícolas, y supone un romance ocurrido por el azar de una manada de mamuts que sufrió una estampida por causa de una fuerte diarrea. La conclusión: en aquel momento la probabilidad de la existencia del autor era absolutamente insignificante, entonces, él no debería existir. Debemos entender que a cada instante existen infinitas (quiero decir, un número muy grande y no determinado) posibilidades para el futuro, las cuales, de alguna manera van muriendo y sólo una realización es obtenida. Yo, este humilde autor de una columna en esta revista, soy la realización de ese infinito cosmos de posibilidades previas. Probablemente muchas de ellas, bastante mejores que el producto obtenido.
Fíjese el lector, que la probabilidad de cualquier número en un sorteo de lotería es sumamente baja lo cual no imposibilita que algún número sea el que distribuya el premio mayor. De alguna manera, de eso se trata la magia de aquel encuentro vespertino en la estación del subte de Buenos Aires de la que fui protagonista. De las infinitas posibilidades que podrían haberme ocurrido, sólo aquel encuentro se produjo. Muchas veces, cuando me deprimo pensando en que la suerte no me ayuda (por ejemplo no he obtenido el premio mayor de ninguna lotería) inmediatamente pienso que sí me ayuda, por ejemplo, nunca fui la victima fatal de un accidente aéreo (cuya probabilidad de ocurrencia, es bastante baja también).
En nuestra vida diaria, hemos aprendido a convivir con leyes a las que consideramos verdaderas. El ingeniero de la Fuerza Aerea Norteamericana Edward A. Murphy, inmortalizó su nombre al haber sintetizado en una frase la decepción que producen aquellos accidentes diarios: Si algo puede salir mal, saldrá mal. Distintas adaptaciones de esta ley se volvieron muy populares. Sin embargo también algunas de estas leyes pueden ser explicadas por las probabilidades. Estar en la fila de la caja de supermercado muy apurados y comprobar que las filas a nuestros lados marchan más rápido es un hecho casi normal. Invocamos a Murphy inmediatamente. Pero lo cierto es que nuestra memoria es muy selectiva, no recordamos aquellas veces en que sin prisa, fuimos los primeros en salir. Por otro lado, R. Matthews en un artículo en Scientific American (abril de 1997), hace notar bien que cuando estamos con esa prisa en la fila, queremos ser los primeros. La probabilidad de ese evento, es en el mejor de los casos, comparando con las cajas vecinas exclusivamente, de 1/3=33%, o sea una vez de cada tres saldremos con nuestro carro adelante de nuestros competidores. Peor aún es si comparamos com todas las cajas del supermercado.
Como la coincidencia en los aniversarios, muchos hechos cotidianos son altamente probables aunque no lo parezcan. En otros casos, los hechos tienen una probabilidad baja, pero no debemos olvidarnos que el universo de posibles eventos es, a los fines prácticos, inconmensurable. Y de hecho, algún fenómeno tendrá que ocurrir. En otras palabras, alguien acertará el pleno de la ruleta. Probablemente yo no. La suerte, no es ninguna fuerza oculta. Y la yeta tampoco es una enfermedad que pueda ser remediada con payés o trabajos, como no pocos especuladores de la ingenuidad ajena pregonan.